492_Nosov_V._I.__Metody_povyshenija_pomekhoustojchivosti_sistem_radiosvjazi_..

в интервале max 2 ,..., max 2 необходимо поменять местами две половины спектральных отсчетов (рис. 3.15).

S w

max

max

2

w

S w

w

0

max

Рис. 3.15. Перестановка спектральных отсчетов

Вывод 3. Если исходный сигнал действительный, то есть s n 0 для

n 0,1,...,N 1, тогда

центральный спектральный отсчет также не имеет мнимой части.

151

Учтем что exp j2 n 1, тогда можно сделать вывод S N m S m , то есть вторая половина спектральных отсчетов комплексно сопряжена с первой. Таким образом, из выражений (3.43) и (3.44) следует, что сдвиг спектра осуществляется умножением сигнала на комплексную экспоненту. На рис. 3.16 представлен вид действительной и мнимой части комплексного спектра действительного сигнала при четном N. Пунктиром отмечены чисто вещественные S 0 и

SN2 .

3.5.5Алгоритмы быстрого преобразования Фурье FFT (fast Fourier transform). Принцип построения

Фурье анализ на сегодняшний день, без сомнения самый распространенный инструмент анализа, который применяется во всех отраслях науки и техники. Однако до появления компьютеров дискретное преобразование Фурье (ДПФ) использовалось редко, поскольку вычисление ДПФ 32 отсчетов требует 1024 операции комплексного умножения и сложения, что в ручную считать довольно долго.

Однако первое упоминание об алгоритме быстрого преобразования Фурье относится к работе Гаусса, в которой он использовал свойства периодичности тригонометрических функций для расчета ДПФ. Однако на эту работу долгое время никто не обращал внимания, до тех пор пока персональные компьютеры не получили широкое распространение.

152

Re S k

k

2

Im S k

N 1 k

2

Рис. 3.16. Реальная и мнимая части комплексного спектра действительного сигнала при четном количестве отсчетов

Первая программная реализация алгоритма БПФ была осуществлена в начале 60-х годов XX века Джоном Кули в вычислительном центре IBM под руководством Джона Тьюки, а в 1965 году ими же была опубликована статья, посвященная алгоритму быстрого преобразования Фурье. Публикуются тысячи работ посвященных алгоритму БПФ, одна за одной выходят монографии, программисты соревнуются в эффективности реализации алгоритма. БПФ становится основным инструментом спектрального анализа сигналов.

Принцип построения алогоритмов БПФ

Рассмотрим выражение для дискретного преобразования Фурье:

153

вычислительная сложность алгоритма ДПФ составляет N2 комплексных умножений и сложений. При этом можно заметить, что если одно ДПФ на N точек (отсчетов) заменить вычислением двух ДПФ по N2 точек, то это приведет к уменьшению количества операций в 2 раза. Замена N-точечного ДПФ двумя N2-точечными представлено на рис. 3.17.

При этом каждое из N2 -точечных ДПФ также можно вычислить путем замены N2 -точечного ДПФ на два N4 -точечных. В этом случае количество вычислительных операций равно 4 N216 N24 . Таким образом можно продолжать разбиение исходной последовательности до тех пор, пока возможно

половинной длительности, а каждое объединение «собирает » из двух последова-

тельностей одну удвоенной длительности.

Алгоритмы БПФ, которые используют выборки длиной N 2L называются

«алгоритмами БПФ по основанию 2». Данные алгоритмы получили наибольшее распространение, из-за того что в машинной арифметике 2 является «круглым» числом. Далее мы будем рассматривать только алгоритмы по основанию 2.

Очевидно что делить последовательности на две можно по-разному, однако,

от этого зависит сможем ли мы при объединении получить неискаженный спектр сигнала и чего с точки зрения вычислительных затрат это будет нам стоить.

154

Рис. 3.18. Разбиение и объединение последовательностей при N = 8

Другими словами комплексные экспоненты в выражении для прямого и обратного ДПФ являются комплексно-сопряженными (черта сверху означает комплексное сопряжение). Теперь рассмотрим два комплексных числа x a jb

и y c jd .

Рассмотрим произведение x на комплексно-сопряженное y:

x y (a jb) (c jd) (a jb) (c jd) ac bd j bc ad . (3.47)

Теперь рассмотрим произведение комплексно-сопряженного x на y

x y (a jb) (c jd) (a jb) (c jd) ac bd j ad bc . (3.48)

Сравнивая (4) и (5) можно сделать вывод:

156

Применительно для выражения ОДПФ можно записать:

Таким образом, для ОДПФ берется комплексно-сопряженный спектр S k

выполняется прямое ДПФ и результат подвергается комплексному сопряжению. Вычисление ОДПФ при использовании ДПФ приведено рис. 3.19.

n,k 0,...,N 1

Рис. 3.19. Вычисление обратного ДПФ через прямое

Если вместо ДПФ использовать БПФ, то получим обратное быстрое преобразование Фурье (ОБПФ). При этом для выполнения комплексного сопряжения необходимо лишь поменять знак перед мнимой частью спектра до вызова функции БПФ и результата после БПФ.

3.6 ОБПФ при формировании OFDM сигнала

Теперь рассмотрим реализацию алгоритма ОБПФ при формировании OFDM сигнала (рис. 3.6).

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) является вычислительно эффективным алгоритмом нахождения дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Алгоритмы БПФ находят широкое применение в различных задачах цифровой обработки сигналов, в частности в системах беспроводной цифровой связи.

В беспроводных системах передачи данных применение БПФ позволяет реализовать схемы с использованием многих поднесущих и, в частности, схему с ортогональным частотным уплотнением OFDM. В OFDM системе связи, передаваемые информационные биты кодируются отдельными точками сигнальных созвездий с применением фазовой или квадратурной амплитудной модуляции, и полученные комплексные отсчеты используются как значения комплексных амплитуд поднесущих в частотной области, образующих OFDM символ.

157

Сигнал во временной области вычисляется как обратное ОБПФ от OFDM символа в частотной области. На приемном конце линии связи производится обратная операция, в которой переданные значения OFDM символа в частотной области находятся с помощью прямого ДПФ по полученному временному сигналу. В результате, сложный частотно-селективный многолучевый канал распространения сигнала (в котором возникает межсимвольная интерференция и требуется применение сложных алгоритмов эквализации) преобразуется к набору ортогональных подканалов (поднесущих) в каждом из которых отсутствует межсимвольная интерференция и эквализация сигнала сводится к простой операции умножения полученного отсчета на коэффициент, обратный к коэффициенту передачи канала на данной поднесущей.

Подавляющее большинство алгоритмов БПФ/ОБПФ работают с комплексными значениями сигналов, поэтому на вход блока ОБПФ (рис. 3.8) с выхода блока модулятора подаются (для каждой из частот) синфазная составляющая I, которая представляет действительную часть комплексного числа Re , и квадратурная составляющая Q , которая представляет мнимую часть комплексного числа Im.

Суммарный сигнал на входе блока ОБПФ (рис. 3.8) на всех поднесущих частотах имеет вид

ная амплитуда k-ой поднесущей, действительная akI и мнимая akQ составляющие которой соответствуют синфазному I и квадратурному Q каналам квадратурной амплитудной модуляции.

Значения этих амплитуд выбираются в соответствии с диаграммами Грея (рис. 3.7 ÷ 3.9), исходя из значения модуляционного символа.

Таким образом, в блоке ОБПФ отрезки поднесущих частот промодулированные в синфазном и квадратурном каналах в блоке модулятора (рис. 3.8), представляются отсчётами в частотной области на длительности символа модуляции Ts (рис. 3.20). Из этого рисунка следует, что на каждой из поднесущих частот на выходе блока модулятора берётся в синфазном и квадратурном каналах всего по одному спектральному отсчёту за длительность символа модуляции Ts . Именно поэтому на выходе каждого модулятора достаточно хранить на длительности символа модуляции Ts значение всего одного спетрального отсчёта в синфазном и квадратурном каналах с соответствующими значениями амплитуд.

158

На рис. 3.20 приведён пример выходных сигналов модуляторов первого, второго и третьего частотных каналов при модуляции QPSK. В соответствии с кодом Грея (рис. 3.10 ÷ 3.12) для рис. 3.20 составлена таблица 3.4, в которой приведены значения амплитуд и цифровых сигналов для действительной и мнимой частей при рассматриваемой позиционности модуляции и трёх поднесущих частот.

Табл. 3.4. Формирование амплитуд и цифровых потоков на выходе модулятора в соответствии с диаграммами Грея

В таблице 3.5 приведены цифровые сигналы в синфазном I и квадратурном Q каналах сформированные на выходе модулятора 16-QAM в соответствии с диаграммой Грея (рис. 3.21).

Табл. 3.5. Формирование цифровых сигналов I и Q на выходе модулятора при 16-QAM

159

u t

f 1Ts

f1 t

Q

I

t

Q

t

I

f3 t

Q t

f

Рис. 3.20. Отрезки поднесущих на выходах модуляторов первого, второго и третьего частотных каналов

160