Математика / Теория / 14 Функции многих переменных
.docФункции многих переменных
§1. Понятие функции многих переменных.
Пусть имеется n переменных величин . Каждый набор обозначает точку n-мерного множества (п-мерный вектор).
Пусть даны множества и .
Опр. Если каждой точке ставится в соответствие единственное число , то говорят, что задана числовая функция n переменных:
.
называют областью определения, - множеством значений данной функции.
В случае n=2 вместо обычно пишут x, y, z. Тогда функция двух переменных имеет вид:
z=f(x,y).
Например, - функция двух переменных;
- функция трех переменных;
- линейная функция n переменных.
Опр. Графиком функции n переменных называется n-мерная гиперповерхность в пространстве , каждая точка которой задается координатами
.
Например, графиком функции двух переменных z=f(x,y) является поверхность в трехмерном пространстве, каждая точка которой задается координатами (x,y,z), где , и .
Поскольку график функции трех и более переменных изобразить не представляется возможным, в основном мы будем (для наглядности) рассматривать функции двух переменных.
Построение графиков функций двух переменных является довольно сложной задачей. Существенную помощь в ее решении может оказать построение так называемых линий уровня.
Опр. Линией уровня функции двух переменных z=f(x,y) называется множество точек плоскости ХОУ, являющихся проекцией сечения графика функции плоскостью, параллельной ХОУ. В каждой точке линии уровня функция имеет одно и то же значение. Линии уровня описываются уравнением f(x,y)=с, где с – некоторое число. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести одну из них.
Опр. Поверхностью уровня функции n переменных y=f ( ) называется гиперповерхность в пространстве , в каждой точке которой значение функции постоянно и равно некоторому значению с. Уравнение поверхности уровня: f ( )=с.
Пример. Построить график функции двух переменных
.
.
При с=1: ; .
При с=4: ; .
При с=9: ; .
Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых уменьшается с ростом z.
§2. Предел и непрерывность функции многих переменных.
Для функций многих переменных определяются те же понятия, что и для функции одной переменной. Например, можно дать определения предела и непрерывности функции.
Опр. Число А называется пределом функции двух переменных z=f(x,y) при , и обозначается , если для любого положительного числа найдется положительное число , такое, что если точка удалена от точки на расстояние меньше , то величины f(x,y) и А отличаются меньше чем на .
Опр. Если функция z=f(x,y) определена в точке и имеет в этой точке предел, равный значению функции , то она называется непрерывной в данной точке.
Пример.
.
.
§3. Частные производные функции многих переменных.
Рассмотрим функцию двух переменных .
Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например , положив . Тогда функция есть функция одной переменной . Пусть она имеет производную в точке :
.
Данная производная называется частной производной (или частной производной первого порядка) функции по в точке и обозначается: ; ; ; .
Разность называется частным приращением по и обозначается :
.
Учитывая приведенные обозначения, можно записать
.
Аналогично определяется
.
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.
При нахождении частной производной по какому-либо аргументу другие аргументы считаются постоянными. Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной справедливы для частных производных функции многих переменных.
Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.
Например, функция имеет четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:
; ;
; .
и - смешанные частные производные.
Пример. Найти частные производные второго порядка для функции
.
Решение. , .
, .
, .
Задание.
1. Найти частные производные второго порядка для функций
, ;
2. Для функции доказать, что .
Полный дифференциал функции многих переменных.
При одновременном изменении величин х и у функция изменится на величину , называемую полным приращением функции z в точке . Так же, как и в случае функции одной переменной, возникает задача о приближенной замене приращения на линейную функцию от и . Роль линейного приближения выполняет полный дифференциал функции:
Полный дифференциал второго порядка:
=
= .
= .
В общем виде полный дифференциал п-го порядка имеет вид:
Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки M(x,y) и - некоторое направление, задаваемое единичным вектором . Координаты единичного вектора выражаются через косинусы углов, образуемых вектором и осями координат и называемых направляющими косинусами:
,
.
При перемещении точки M(x,y) в данном направлении l в точку функция z получит приращение
,
называемое приращением функции в данном направлении l.
Е сли ММ1=∆l, то
.
Т
.
О
.
Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении. Очевидно, что частные производные и представляют собой производные по направлениям, параллельным осям Ox и Oy. Нетрудно показать, что
.
Пример. Вычислить производную функции в точке (1;1) по направлению .
Опр. Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор с координатами, равными частным производным:
.
Рассмотрим скалярное произведение векторов и :
Легко видеть, что , т.е. производная по направлению равна скалярному произведению градиента и единичного вектора направления .
Поскольку , то скалярное произведение максимально, когда векторы одинаково направлены. Таким образом, градиент функции в точке задает направление наискорейшего возрастания функции в этой точке, а модуль градиента равен максимальной скорости роста функции.
Зная градиент функции, можно локально строить линии уровня функции.
Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция z=f(x,y) и в точке градиент функции не равен нулю: . Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.
Таким образом, если, начиная с некоторой точки, строить в близких точках градиент функции и малую часть перпендикулярной ему линии уровня, то можно (с некоторой погрешностью) построить линии уровня.
Локальный экстремум функции двух переменных
Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки .
Опр. Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность точки , в которой для любой точки выполняется неравенство:
.
Аналогично вводится понятие локального минимума.
Теорема (необходимое условие локального экстремума).
Для того, чтобы дифференцируемая функция имела локальный экстремум в точке , необходимо, чтобы все ее частные производные первого порядка в этой точке были равны нулю:
Итак, точками возможного наличия экстремума являются те точки, в которых функция дифференцируема, а ее градиент равен 0: . Как и в случае функции одной переменной, такие точки называются стационарными.
Пример. .