- •Оглавление
- •Матрицы
- •Обратные матрицы
- •Ранг матрицы
- •Матричные уравнения
- •Глава 2. Системы линейных уравнений.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Базисные решения
- •Фундаментальные решения
- •Геометрические векторы
- •Сумма множеств по Минковскому
- •Элементы аналитической геометрии
- •N-мерные векторы
- •Глава 4. Векторные пространства
- •Векторные пространства и подпространства
- •Линейные многообразия
- •Метрические пространства
- •Евклидовы пространства
- •Глава 5. Линейные отображения
- •Квадратичные формы
- •Глава 6. Векторные функции
- •Глава 7. Классические методы оптимизации
- •Экстремум неявной функции
- •Условный экстремум
- •Глобальный экстремум
- •Экстремум в системах функций
- •Найти экстремум в системах функций
В. А. МАЛУГИН
2004
Задачи и упражнения по линейной алгебре |
3 |
Оглавление
Предисловие ............................................................................................................................. |
4 |
|
Глава 1. Матричная алгебра. ................................................................................................... |
5 |
|
Глава 2. Системы линейных уравнений............................................................................... |
25 |
|
Глава 3. Векторная алгебра. .................................................................................................. |
45 |
|
Глава 4. |
Векторные пространства………………………………………………………….59 |
|
Глава 5. |
Линейные отображения .......................................................................................... |
81 |
Глава 6. |
Векторные функции ................................................................................................ |
95 |
Глава 7. Классические методы оптимизации .................................................................... |
112 |
4
Предисловие.
Сборник сложился в результате многолетнего преподавания высшей математики на экономическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова. Он дополняет курс лекций по линейной алгебре и функциям нескольких переменных (векторного аргумента). Сборник содержит около 800 задач и упражнений, которые собраны из существующих руководств и удовлетворяют по направлению и уровню сложности потребностям экономического университетского образования. Автор в значительной степени опирался на задачники «Сборник задач по линейной алгебре» И. В. Проскурякова и «Задачи и упражнения по математическому анализу» под редакцией Б. П. Демидовича.
При создании сборника был сделан упор на возможность его использования как руководства в самостоятельной работе студента. В связи с этим в начале каждой главы приводится краткий теоретический материал – основные определения, теоремы, формулы, разбираются многочисленные примеры. Задачи и упражнения даются возрастающими по сложности.
На все вычислительные задачи даны ответы. Если ответ может быть приведен в различном виде, указывается один из возможных вариантов ответов.
5
Глава 1. Матричная алгебра
1. П о н я т и е м а т р и ц ы . Матрицей с размерами mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются aij , где i 1,2,...m, j 1,2,...n . Обозначение матрицы: A aij .
Матрица называется квадратной, если у нее число строк и число столбцов одинаково.
Элементы квадратной матрицы aij , у которых номер строки совпадает с номером столбца,
называются диагональными и образуют главную диагональ.
Квадратная матрица E называется единичной, если по главной диагонали стоят единицы, остальные элементы равны нулю.
2 . О п е р а ц и и н а д м а т р и ц а м и .
1) При умножении числа на матрицу это число умножается на каждый элемент матрицы.
2) При сложении (вычитании) матриц одинаковых размеров соответствующие элементы матриц складываются (вычитаются).
3) Умножение матрицы на матрицу: элемент новой матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j- го столбца равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы. Операция определена при условии, что число столбцов 1-й матрицы равно числу строк 2-й.
4) Транспонирование матрицы: переход к матрице, у которой строки и столбцы меняются местами. Свойства транспонирования
AT T A, a A T a AT , |
A B T AT BT , A B T BT AT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 . П о н я т и е |
|
о п р е д е л и т е л я . Определитель |
|
A |
|
квадратной матрицы |
A есть число, введенное |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
по определенному закону. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определитель |
|
A |
|
матрицы 1-го порядка A a11 есть элемент матрицы 1-го порядка. |
|
A |
|
a11 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
a11a22 a21a12 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Определитель |
|
A |
|
матрицы 2-го порядка |
A 11 |
12 |
|
есть число |
A |
|
11 |
12 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
A |
|
матрицы 3-го порядка можно вычислить так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
a13 |
|
a 1 1 1 |
|
a22 |
a23 |
|
a 1 1 2 |
|
|
a21 |
|
a22 |
|
a 1 1 3 |
|
a21 |
a22 |
|
и так далее. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
|
a |
21 |
a |
22 |
|
a |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
a32 |
a33 |
|
12 |
|
|
a31 |
|
a32 |
|
13 |
|
|
|
a31 |
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a31 |
a32 |
|
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Минором M ij |
матрицы A называется определитель, полученный из этой матрицы вычеркиванием i- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы |
A называется ее минор M ij , |
взятый со знаком 1 i j .
Теорема. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.
4 . С в о й с т в а о п р е д е л и т е л е й .
1)Если все элементы какой-либо строки или столбца равны нулю, определитель равен нулю.
2)Если элементы двух строк или столбцов равны или пропорциональны, определитель равен нулю.
3)При транспонировании матрицы величина определителя не меняется.
4)Если к элементам одной строки или столбца прибавить умноженные на одно и тоже не равное нулю число элементы другой строки или столбца, величина определителя не изменится.
5)При перестановке строк или столбцов местами определитель меняет знак.
6)Если элементы какого-либо столбца (строки) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
5. О б р а т н а я м а т р и ц а . Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.
Матрица A 1 называется обратной к квадратной матрице A , если A 1 A A A 1 E .
6
Теорема. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была не вырождена.
Теорема. Если обратная матрица существует, она единственна. 6 . С в о й с т в а о б р а т н ы х м а т р и ц .
1 . A 1 1 A ;
2.A 1 T AT 1 ;
3.AB 1 B 1 A 1 ;
4.A 1 m Am 1;
5.A 1 1A .
7. Р а н г м а т р и ц ы . Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Элементарные преобразования, не изменяющие ранга матрицы.
1)Изменение порядка строк или столбцов.
2)Умножение элементов одной строки или столбца на любое не равное нулю число.
3)Сложение строк с предварительным умножением любой из них на произвольное не равное нулю
число.
4)Транспонирование.
5)Отбрасывание нулевой строки или столбца
Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с т р о к и л и |
с т о л б ц о в . |
Строки |
(столбцы) e1 , |
e2 , ... |
en |
|||||
матрицы называются линейно независимыми, если из |
равенства 1e1 |
2e2 ... nen o |
следует, |
что |
||||||
1 2 ... n 0 . В противном случае строки (столбцы) называются линейно зависимыми. |
|
|
||||||||
Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов. |
|
|||||||||
|
3 |
2 |
3 1 |
4 |
8 |
|
|
|||
ПРИМЕР 1. Вычислить произведение матриц 23 |
5 |
7 |
|
7 |
2 |
9 |
. |
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Перемножим матрицы, умножая элементы каждой строки на соответствующие элементы каждого столбца
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 3 1 |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 5 |
7 |
|
7 2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
1 |
|
0 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 1 2 7 3 0 |
|
|
3 4 2 2 3 2 |
|
|
3 8 2 9 3 1 |
|
|
11 10 3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
23 1 5 7 7 0 |
23 4 5 2 7 |
2 |
23 8 5 9 |
7 1 |
|
12 |
|
88 132 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 1 1 7 1 0 |
|
2 4 1 2 1 2 |
|
|
2 8 1 9 1 1 |
|
|
|
5 12 8 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ПРИМЕР 2. Доказать, что матрица X1 |
2 |
1 |
удовлетворяет уравнению |
|
AX |
2 |
BX C |
O , где |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
0 |
1 |
|
C |
|
2 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A |
1 |
|
B |
2 |
, |
|
|
, |
O |
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение. Подставим матрицу X1 в исходное уравнение. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
AX |
2 |
|
1 |
|
1 2 |
1 2 |
1 |
4 |
|
2 2 |
1 |
|
4 |
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
2 2 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BX |
|
|
2 |
1 |
|
2 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
AX |
2 |
BX C |
4 |
|
2 |
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
0 0 |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
BX C O . |
|||
Следовательно, матрица X1 |
|
|
является корнем матричного уравнения AX |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
ПРИМЕР 3. Вычислить величину определителя |
4 |
2 |
4 |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
||
Решение. Рассмотрим три способа нахождения величины определителя. |
|
|
|||||||||||||||||||
1 способ основан на разложении определителя по первой строке. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
5 |
|
2 |
4 |
|
|
4 |
4 |
|
4 |
2 |
|
2 8 3 4 6 58 . |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
4 |
2 |
4 |
2 |
|
3 |
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 способ использует правило треугольников. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
5 |
|
2 2 3 4 1 4 1 5 5 |
2 1 4 3 2 4 1 2 58 . |
||||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
4 |
2 |
4 |
2 |
|||||||||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 способ. Используя свойства определителя, приведем его к треугольному виду. Определитель же треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Для пояснения преобразований
обозначим 1-ю строку через e1 |
, 2-ю и 3-ю строки соответственно, как e2 и e3 . Тогда |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
e1 |
|
|
3 |
5 |
|
e3 |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
e3 |
|
1 |
1 |
2 |
|
e3 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
e2 |
|
4 |
2 |
4 |
|
e2 |
|
4 |
2 |
4 |
|
4e3 |
e2 |
|
0 |
6 |
4 |
|
2e3 |
e1 |
|
0 |
1 9 |
= |
||||
|
e3 |
|
1 |
1 |
2 |
|
e1 |
|
|
2 |
3 |
5 |
|
2e3 |
e1 |
|
0 |
1 9 |
|
4e3 |
e2 |
|
0 |
6 |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 |
|
|
|
|
1 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2e3 e1 |
|
|
|
0 |
1 |
9 |
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 2e3 e1 |
4e3 e2 |
|
|
0 |
0 |
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последний способ прекрасно работает с большими определителями.
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ПРИМЕР 4. Для матрицы A |
0 |
|
|
2 |
|
3 найти обратную A 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. 1 способ - метод присоединенной матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем определитель матрицы. |
|
A |
|
|
0 |
|
2 |
3 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Транспонируем матрицу A . |
AT |
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Составим присоединенную матрицу из алгебраических дополнений к элементам транспонированной. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Например AT |
1 1 1 |
2 |
1 |
1, AT |
|
1 1 2 |
2 |
1 |
2 и так далее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11 |
|
3 |
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда присоединенная матрица A p |
|
|
3 |
|
4 |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 2 2 |
1 2 2 |
|||||||||||
Обратная матрица вычисляется по формуле |
A 1 |
A p |
|
3 |
4 |
3 |
|
|
3 |
4 |
3 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
1 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 способ – метод Гаусса-Жордана. Составим расширенную матрицу из исходной и единичной. Посредством элементарных преобразований преобразуем расширенную матрицу так, чтобы исходная матрица превратилась в единичную. Тогда на месте единичной матрицы образуется обратная. Делаем следующие элементарные преобразования:
1)складываем элементы 1-й строки с элементами 3-й и размещаем на месте 3-й строки;
2)умножаем 2-ю строку на 2 и складываем с 3-й, предварительно умноженной на 3, результат размещаем на месте 3-й строки, левая часть матрицы стала треугольной;
3)образуем треугольник нулей выше главной диагонали, для чего умножаем 3-ю строку на -3 и складываем со 2-й, результат размещаем на месте 2-й строки;