Физика вод суши by Винников С.Д., Викторова Н.В. (z-lib.org)

Разность значений температуры /в - 0 в этой формуле назы­ вают температурным напором.

Из формулы (3.47) следует, что если необходимо увеличить теплоотдачу Q, то нужно уменьшить термическое сопротивление стенки и, наоборот, для уменьшения теплоотдачи - увеличить его.

В нашем примере передача теплоты от воды к воздуху осу­ ществляется только через один слой. Однако часто встречаются случаи передачи теплоты и через многослойные стенки, например, через стенку трубопровода с несколькими теплоизоляционными слоями. Для такого случая в формулы (3.43) - (3.45) следует вве­ сти термическое сопротивление многослойной стенки 5,/Х,- .

Если рассматривается тепловой поток только через много­ слойную стенку, изолированно от воды и воздуха, то в уравнениях (3.43) - (3.45) внешние термические сопротивления 1/а(. будут

отсутствовать, а разность значений температуры будет опреде­ ляться температурой нижней и верхней поверхностей стенки.

Формула (3.43) предназначена для расчета плотности тепло­ вого потока через стенку, материал которой не меняет свое агре­ гатное состояние. В нашей же практике встречаются задачи, когда стенкой является ледяной покров, материал которого меняет свое агрегатное состояние. В этом случае теплота, приходящая от воды ко льду, будет расходоваться на таяние его и за границу раздела вода - лед (в толщу льда) не пройдет. Поэтому в формулах (3.43) и

(3.44) слагаемое — следует исключить.

а,

3.8.Дифференциальное уравнение теплопроводности

Рассмотренные выше основные закономерности тепловых процессов, протекающих в природе, описывают стационарные температурные поля. Однако часто приходится сталкиваться с не­ стационарными температурными полями, т. е. с такими полями, значения температуры которых меняются в каждой точке во вре­ мени. Для них закон Фурье и другие, о которых сказано раньше, справедливы, если рассматривать их в каждый момент времени. Тепловой процесс, протекающий во времени, можно описать диф­

92

ференциальным уравнением. Такое уравнение получил Фурье; в настоящее время оно названо его именем. В основе этого урав­ нения лежит закон сохранения энергии, который в рассматривае­ мом случае может быть сформулирован следующим образом: ко­ личество теплоты, введенное в элементарный объем извне за вре­ мя dx, вследствие теплопроводности равно изменению внутренней энергии вещества (энтальпии), содержащегося в этом объеме. Ни­ же приведем вывод этого уравнения.

Выделим в однородном и изотропном твердом теле (в сис­

тарный объем, не равно выходящему из него, то произойдет изме­ нение энтальпии этого объема, которое обозначим через Q1.

Составим уравнение теплового баланса для выделенного

Определим составляющие этого уравнения. Согласно фор­ муле (3.11), имеем:

93

<2i = qxdydzdx,

dx

Q3 = qydxdzdx,

В уравнениях (3.49) и (3.50) qx, qy , qz - удельные тепловые

потоки через грани соответственно в направлении осей х, у, z; dqx/ d x ,

dqyj d y , dqz/d z - изменение удельных тепловых потоков внутри вы­

деленного объема по осям х, у, z; dt/dx —изменение температуры этого

объема за время dx.

Решая совместно уравнения (3.48) - (3.50), одновременно проведя деление каждого слагаемого на dx, dy, dz, dx и на ср, полу­ чаем

Выразим удельные тепловые потоки в уравнении (3.51) со­ гласно закону Фурье (3.10). Тогда

(3.52)

или

dt^_ (dh t d4t a V

(3.53)

dx ~ \ d x 2 + dy2 + dz2 j ’

94

где а = Я,/(СР )- коэффициент температуропроводности. Уравнение (3.53) носит название дифференциального урав­

нения теплопроводности в декартовых координатах. Обозначив

можно представить и в цилиндрических координатах, если ввести следующие соотношения, связывающие декартовы и цилиндриче­ ские координаты:

Уравнение (3.53) описывает нестационарное пространствен­ ное температурное поле. Для нестационарного двухмерного тем­

уравнение теплопроводности (3.53) принимает вид уравнения Ла­ пласа:

95

Температурные поля, описываемые уравнениями (3.60) - (3.62), носят название стационарных температурных полей, т.е. полей, не меняющихся с течением времени. Из этих уравнений следует, что температурные поля тел при стационарном режиме не зависят от коэффициента температуропроводности а и, следова­ тельно, от коэффициента теплопроводности X.

3.9.Дифференциальное уравнение теплопроводности

систочником теплоты

При выводе уравнения теплопроводности (3.53) предполага­ лось отсутствие внутренних источников или стоков теплоты. Од­ нако есть среды, внутри которых могут протекать те или иные процессы с выделением (источник) или поглощением (сток) тепло­ ты. К таким средам, как уже отмечалось выше (п. 3.6), относятся вода, лед, снег, пар, а также металлы, бетон, химические и другие вещества. Процесс испарения воды, таяния льда и снега сопровож­ дается поглощением теплоты, а обратный ему процесс - замерза­ ние воды выделением теплоты; прохождение лучистой энергии сквозь прозрачную среду и электрического тока по проводникам сопровождается их нагреванием; растворение в воде или выделе­ ние из раствора осадка многих химических веществ также сопро­ вождается поглощением или выделением теплоты, например, за­ твердевание цементного раствора сопровождается выделением теплоты и так далее. При этом теплота источника или стока может зависеть не только от координат тела, но и от его температуры и ее распределения в теле.

При наличии источника или стока уравнение теплового ба­ ланса (3.48) должно быть дополнено еще одним членом, учиты­ вающим их теплоту, а именно:

96

где Qs - количество теплоты, выделенное или поглощенное сре­

дой в объеме дхдудг за время dr; W - интенсивность источника или стока теплоты, определяемая, например, по формулам (3.31), (3.34)

и(3.37).

Сучетом дополнительного члена (3.63) уравнение теплопро­ водности (3.53) запишем в следующем виде:

В том случае, когда в среде имеют место поглотители (сток) тепловой энергии, перед вторым слагаемым правой части уравне­ ния следует ставить знак минус.

3.10. Условия однозначности

Полученное выше дифференциальное уравнение теплопро­ водности описывает явление передачи теплоты в самом общем ви­ де. Чтобы решить с помощью этого уравнения конкретную задачу, отличающуюся какими-либо условиями от сотни других задач, необходимо сформулировать для нее еще и так называемые усло­ вия однозначности.

Условия однозначности состоят:

1)из геометрических условий, характеризующих форму и размеры тела или системы тел, в которых протекает тепловой про­ цесс;

2)из физических условий, характеризующих физические свойства рассматриваемой среды и тела;

3)из временных условий, характеризующих распределение температуры в рассматриваемой среде или теле в начальный мо­ мент времени. По этой причине эти условия называют еще и на­ чальными условиями;

97

4) из граничных условий, характеризующих взаимодействи рассматриваемого тела с окружающей его средой.

Из перечисленных условий первые два не требуют дополни­ тельных пояснений; вторые же два условия, так называемые крае­ вые условия, рассмотрим более подробно.

Начальные условия заключаются в задании распределения поля значений температуры в начальный момент времени (х = 0). Они должны быть заданы в виде функций:

1)/т=0 = / (х, у, z) - для пространственной задачи,

2)tT=0 = / 2 (х, у) - для плоской задачи,

3)tx=0 = / 3(х) - для линейной задачи.

В большинстве случаев эти условия могут быть заданы с достаточной определенностью в виде конкретной функции, таб­ лицы или в форме графика.

Граничные условия задаются в более сложном виде. При ре­ шении задач теплопроводности принято различать четыре наибо­ лее часто встречающихся способа задания граничных условий, так называемые граничные условия первого, второго, третьего и чет­ вертого рода.

1. Граничные условия первого рода заключаются в том, что задается температура во всех точках поверхности тела в течение

где X, Y, Z - координаты поверхности.

2. Граничные условия второго рода заключаются в том, что задается удельный тепловой поток по закону Фурье через поверх­

3. Граничные условия третьего рода заключаются в задании температуры поверхности тела и окружающей его среды и задании

98

теплообмена (коэффициента теплоотдачи) между поверхностью этого тела и окружающей средой по закону Ньютона (3.38) или (3.39), а в некоторых случаях и по (3.38) и по (3.39) одновременно. Таким образом, количество теплоты, отдаваемое (или получаемое) единицей поверхности с температурой tn за единицу времени

в окружающую среду с температурой tc, прямо пропорционально разности температуры поверхности и окружающей среды:

Количество теплоты, отдаваемое (или получаемое) поверх­ ностью в окружающую среду и определяемое по формуле (3.69), должно быть равно количеству теплоты, подводимому к этой по­ верхности за счет теплопроводности, которое определяется по за­ кону Фурье (3.67). Приравняв эти потоки, получим новое выраже­ ние для задания граничных условий третьего рода:

где dt - градиент температуры у поверхности и по нормали к ней.

дп

В условии (3.70) должны быть заданы коэффициент тепло­ отдачи а и температура окружающей тело среды tc.

4. Граничные условия четвертого рода заключаются в том, что задается равенство температуры на поверхности раздела двух тел или тела с окружающей средой при подходе к ней с двух сто­ рон, а также удельных тепловых потоков по закону Фурье в пред­ положении, что между этими телами осуществляется идеальный

двух тел (по обе стороны от нее).

99

Второе условие (3.71) также означает, что задается отноше­ ние тангенсов угла наклона температурных кривых к нормали в точке соприкосновения двух тел или тела с окружающей средой:

Возможны и другие способы задания граничных условий, помимо перечисленных выше [42].

3.11. Методы решения задач

Для решения задачи о распределении температуры в преде­ лах заданного поля и в расчетный период времени с помощью по­ лученных выше уравнений помимо краевых условий необходимо располагать методом решения этих уравнений.

За 160 лет со времени выхода в свет «Аналитической теории тепла» - классической работы Фурье - теория теплообмена обога­ тилась рядом таких методов. Первый из них был предложен самим Фурье и известен как «решения в рядах Фурье».

Все эти методы могут быть распределены по следующим группам: аналитические, конечных разностей (графический, чис­ ленный), исследования температурных полей на моделях (физиче­ ский), аналоговых и счетных машин.

Каждый из методов при решении практических задач имеет свои преимущества и недостатки. Одни методы пригодны только для решения задач с одномерными температурными полями и встречают затруднения при двухмерных и невозможны при про­ странственных температурных полях, другие, наоборот, должны пользоваться преимуществами при изучении пространственных температурных полей.

К настоящему времени наиболее разработаны методы реше­ ния уравнения теплопроводности для одномерных задач, как раз тех задач, с которыми преимущественно имеют дело гидрологи и гидротехники.

Аналитические методы решения уравнения теплопроводно­ сти состоят в том, что, пользуясь полной математической формули­ ровкой задачи, находят ее аналитическое решение. При этом следу­ ет искать уже готовое решение, а не новое. Для этого необходимо

100