Физика вод суши by Винников С.Д., Викторова Н.В. (z-lib.org)

лучения результатов. Выполнив построение температурной сетки, переходим к

определению теплового потока в рассматриваемом плоском теле по формуле

(4.64)

121

где qст - тепловой поток струи, образованной двумя рядом распо­

ложенными линиями тока теплоты; qt - удельный тепловой поток;

п - число струй в ортогональной сетке; bt - ширина струи в вы­

бранном сечении (средняя линия клетки); /, - длина этой клетки;

X - коэффициент теплопроводности.

Покажем, что построенная ортогональная температурная сетка является решением уравнения Лапласа (4.46). С этой целью выделим и рассмотрим отдельную струю, изображенную на рис. 4.4. Проведем в рассматриваемой струе два сечения, параллельные ко­ ординатным осям х и у (dx-1, dy \), и определим расходы теплоты через эти сечения. В направлении оси у

а в направлении оси х

Деля первое и второе равенство соответственно на dx и dy и учитывая, что вдоль струи расход теплоты постоянный

(?сг, =?ст, =dQ), найдем:

Дифференцируя первое уравнение по у, а второе по х, полу­

чаем:

Совместное решение этих уравнений приводит к уравнению Лапласа (4.46):

d2t/dx2 + d2t/dy2 = 0.

Метод релаксации. Метод релаксации предусматривает за­ мену дифференциалов в уравнении стационарной теплопроводно-

122

ста (4.46) конечными разностями. При такой замене дифференци­ альное уравнение (4.46) примет вид

где Ах и Ау - стороны элемен­ тарных площадок, на которые разбито двухмерное тело; t - температура в узлах сетки. По­ строим сетку так, чтобы

Ах = Ау.

Обращаясь к рис. 4.5, най­ дем вторые производные в ко­ нечных разностях по осям х и у в узле 0:

Решая уравнение (4.69) совместно с выражениями (4.70) и (4.71) и учитывая, что Ах =Ау = А1, получаем

123

т. e. температура в узле сетки 0 равна среднему арифметическому значению температуры в соседних узлах. Выражение (4.73) спра­ ведливо для любого узла построенной сетки однородного плоского тела.

Записав уравнение (4.73) для каждого из узлов тепловой сет­ ки, получим систему, состоящую из числа линейных уравнений, равного числу узлов сетки. Для решения этой системы уравнений применяют различные численные методы, и в частности, метод релаксации. Название метода происходит от латинского relaxatio - ослабление, означающего постепенный переход системы в равно­ весное состояние. Например, если температура в каком-либо узле сетки, зависящая от четырех соседних значений температуры, нахо­ дится в равновесии с ними, то выполняется уравнение (4.73). Если она не находится в равновесии с соседними значениями температу­ ры, то правая часть этого уравнения не будет равна нулю, т. е.

(4.75)

где At - остаток.

Для сведения к нулю правой части (остатка) каждого из уравнений системы, т. е. для приведения системы в равновесное состояние, и применяется этот метод.

Рассмотрим применение метода релаксаций на примере рас­ чета распределения температуры в поперечном сечении ледяного покрова канала при отсутствии снега с одной его стороны (рис. 4.6). Ледяной покров лежит на воде. Температура поверхности льда под снегом -5 °С, на границе - 7,5 °С, а в зоне отсутствия снега - 10 °С.

124

дается максимальный остаток. В рассматриваемом примере мак­ симальный остаток Ata= + 1,25 °С получился в точке а.

Для проведения выравнивания температуры (ее увеличения в точке а) изменим ее значение, согласно уравнению (4.75),

Ata/4 = + 1,25/4 = +0,31 °С , тогда получим ta = -5,00 + 0,31 =

=-4,69 °С.

Сучетом уточненного значения температуры льда в точке а

определяем остаток At6 - +0,31°С в точке б. Затем уменьшим тем­

пературу в этой точке на At6/4 = + 0,31/4 = +0,08 °С и получим

t6 =-3,75 + 0,08 =-3,67 °С . После этого переходим к выравнива­

нию температуры по изложенной схеме в узле в. Если повторный подсчет по уравнению (4.75) по-прежнему выявит остаток At, то операции по его уменьшению в каждом узле повторяются и до тех пор, пока он не будет равен нулю, что означает, что температура в точках не меняется. Окончательный результат расчета темпера­ туры льда в нашем примере приведен на рис. 4.6.

Таким образом, метод релаксации заключается в том, что, задаваясь первоначально произвольным, но более или менее веро­ ятным распределением температуры, затем постепенно выравни­ вают ее последовательным приближением, пользуясь уравнениями (4.74) и (4.75). Следует заметить, что можно вычислить темпера­ туру в узлах сетки, пользуясь только уравнением (4.74), т. е. без вычисления остатка. Однако в этом случае объем вычислительных работ несколько больше, чем в первом варианте.

Метод релаксации может быть применен также для оценки двухмерного температурного поля неоднородного тела, в том числе с источниками теплоты и с произвольным шагом разбивки сетки.

Метод электротепловой аналогии (ЭТА). Большое число задач, встречающихся в теплотехнике, которые в настоящее время не могут быть решены теоретически, решаются с успехом экспе­ риментально методом ЭТА. Метод ЭТА относится к физическим (экспериментальным), прост и не требует больших затрат времени и средств на решение поставленной задачи.

Метод электрической аналогии, к которому относится метод ЭТА, применяется в гидравлике, гидродинамике, аэромеханике, гидрологии, теории упругости, механике грунтов, строительной

126

механике, океанологии и других науках. Этот метод теоретически обоснован и впервые внедрен в практику исследования академи­ ком Н. Н. Павловским в 1922 г. при изучении вопроса фильтрации под гидротехническими сооружениями. В настоящее время этот метод широко известен как метод ЭГДА (электрогидродинамическая аналогия). Для решения этим методом различных задач раз­ работаны специальные установки, получившие название электро­ интеграторов.

Метод ЭГДА (ЭТА, ЭДА - электродиффузионной аналогии) основан на аналогии математической записи двух разных физиче­ ских явлений: с одной стороны, теплопроводности, диффузии, фильтрации и других в изучаемой среде, а с другой стороны - электропроводности в электропроводном материале, а именно:

1) закона Фурье

фундирующего вещества, фильтрующей воды, электричества; t, S, Н, U - соответственно температура, концентрация, напор, элек­ трический потенциал, изменяющиеся в направлении нормали п; А, D, к, ст - соответственно коэффициент теплопроводности, диффу­

фильтрационное, электрическое сопротивление слоя дп =8 .

127

Указанную аналогию можно так же легко проследить, если перейти от уравнений (4.76) - (4.79) к уравнениям Лапласа, опи­ сывающим двухмерные поля:

а)тепловое

Используя представленную аналогию математической записи двух разных физических явлений, на практике по данным элек­ трического поля, полученного в эксперименте на геометрически подобной модели и представляющего собой ортогональную сетку линий тока и эквипотенциалей, находят температурное поле и по­ ток теплоты. Пересчет электрических характеристик в тепловые

мальное значения температуры.

Для получения электрических характеристик используется прибор, собранный по мостовой схеме, для которой справедливо

В выражении (4.87) R{ и R2 - сопротивления частей элек­ трической модели влево и вправо от эквипотенциальной линии,

128

a Uх - значение электрического потенциала на эквипотенциальной

линии. В качестве электрической модели, заменяющей изучаемое тело, обычно применяют электропроводящую бумагу, а при реше­ нии пространственных задач - электролит.

На рис. 4.7 показана схема прибора, на котором решается, например, задача определения нулевой изотермы под рекой, про­ текающей в районе многолетней мерзлоты. В схему прибора вхо­ дит электрическая модель 1 , вырезанная из токопроводящей бума­ ги. По верхнему и нижнему участкам контура этой модели нало­ жены металлические шины 2, 3, 4, на которые подается электриче­ ский потенциал, пропорциональный заданной температуре на этих участках. Шины соединены с источником электропитания. В цепь включен также делитель напряжения 5. Он предназначен для зада­ ния местонахождения очередной искомой эквипотенциали. Поло­ жение же эквипотенциали на модели определяется с помощью иг­ лы 6 , включенной в электрическую цепь через гальванометр 7 и подвижной контакт 8 . В электрическую цепь должны быть вклю­ чены также амперметр А и вольтметр V.

Рис. 4.7. Электрическая модель толщи многолетней мерзлоты (7) с рекой (3 ).

Температура воды вреке + 4 °С, поверхности многолетней мерзлоты - 10 °С,

U - значение электрического потенциала в долях единицы.

129

где Ui - значение электрического потенциала в точке в долях еди­ ницы.

Рассмотренный метод может быть успешно применен также для расчета температурных полей в слоистых и неоднородных средах как с граничными условиями первого рода, так и с гранич­ ными условиями третьего рода. В последнем случае термическое сопротивление на поверхности исследуемого тела учитывается путем добавления к электрической модели дополнительного слоя, равного I - Х /а (см. главу 5, п. 5.2).

130